Volver a Guía
Ir al curso
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:
f) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{2^{n+1}}$
f) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{2^{n+1}}$
Respuesta
Arrancamos reescribiendo un poco esta serie para ver en qué situación estamos, porque esto tiene pinta que lo vamos a poder reescribir para que nos aparezcan series geométricas.
Reportar problema
Distribuimos el denominador:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{2^{n+1}}$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2^{n+1}} + \frac{(-1)^n}{2^{n+1}}$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2 \cdot 2^{n}} + \frac{(-1)^n}{2 \cdot 2^{n}}$
Separamos las dos sumatorias y sacamos las constantes multiplicando para fuera:
$\frac{3}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n}}$
Y mirá como lo podemos escribir ahora:
$\frac{3}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{2})^n $
Y ahora si vemos que nos quedaron dos series geométricas con $|r| < 1$. Por lo tanto, ambas convergen y entonces
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{2^{n+1}}$
converge :)