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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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4. Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:
f) ∑n=1∞3+(−1)n2n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{2^{n+1}}

Respuesta

Arrancamos reescribiendo un poco esta serie para ver en qué situación estamos, porque esto tiene pinta que lo vamos a poder reescribir para que nos aparezcan series geométricas.

Distribuimos el denominador:

∑n=1∞3+(−1)n2n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{2^{n+1}}

∑n=1∞32n+1+(−1)n2n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2^{n+1}} + \frac{(-1)^n}{2^{n+1}}

∑n=1∞32⋅2n+(−1)n2⋅2n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2 \cdot 2^{n}} + \frac{(-1)^n}{2 \cdot 2^{n}}

Separamos las dos sumatorias y sacamos las constantes multiplicando para fuera:

32∑n=1∞12n+ 12∑n=1∞(−1)n2n\frac{3}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n}}

Y mirá como lo podemos escribir ahora:

32∑n=1∞(12)n+ 12∑n=1∞(−12)n\frac{3}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{2})^n

Y ahora si vemos que nos quedaron dos series geométricas con ∣r∣<1|r| < 1. Por lo tanto, ambas convergen y entonces

∑n=1∞3+(−1)n2n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{2^{n+1}}

converge :)
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